2008 九州大学 理系第５問

いくつかの半径 $3$ の円を、半径 $2$ の円 $Q$ に外接し、かつ、互いに交わらないように配置する。このとき、次の問いに答えよ。

1. 半径 $3$ の円の１つを $R$ とする。円 $Q$ の中心を端点とし、円 $R$ に接する２本の半直線のなす角を $\theta$ とおく。ただし、 $0 \lt \theta \lt \pi$ とする。このとき、 $\sin\theta$ を求めよ。
2. $\frac{\pi}{3} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$ を示せ。
3. 配置できる半径 $3$ の円の最大個数を求めよ。